Question

（本小題滿分13分）

如圖，已知拋物線，過點(diǎn)作拋物線的弦,．

   （Ⅰ）若,證明直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；

  （Ⅱ）假設(shè)直線過點(diǎn)，請問是否存在以為底邊的等腰三角形? 若存在，求出的個(gè)數(shù)？如果不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）直線過定點(diǎn).；（Ⅱ）滿足條件的等腰三角形有且只有一個(gè)．

【解析】（1）設(shè)出直線的方程，注意討論斜率是否存在，與拋物線聯(lián)立，利用，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積為0，找到直線中兩個(gè)參數(shù)的關(guān)系，即找到直線過定點(diǎn)；（2）在（1）的條件下，

把用代換，求出中點(diǎn)的坐標(biāo)，用表示，若存在以為底邊的等腰三角形，也就是，整理得關(guān)于的方程，解方程就得到滿足條件的三角形及其個(gè)數(shù).

（Ⅰ）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為.

由消，得.

由，得,.

∵，∴，∴.

∴，

∴或.

∴ 或，∵恒成立. ∴.

∴直線的方程為  ，∴直線過定點(diǎn). ………………………………（6分）

（Ⅱ）假設(shè)存在以為底邊的等腰三角形，由第（Ⅰ）問可知，將用代換得

直線的方程為.設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為.

由消，得.

∴   .

∵的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，

∵ ， ∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為.

由已知得，即． 

設(shè)，則，

在上是增函數(shù).

又，在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn).

函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程在上有唯一實(shí)根．

所以滿足條件的等腰三角形有且只有一個(gè)．……………………………………………………… （13分）