Question

8．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx（x∈R），g（x）=f（x）+3x-x²-3，t（x）=$\frac{c}{{x}^{2}}$+lnx
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的圖象在點x=3處的切線與直線24x-y+1=0平行，且函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求函數(shù)f（x）的解析式，并確定f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，如果對于任意的x₁，x₂∈[$\frac{1}{3}$，2]，都有x₁•t（x₁）≥g（x₂）成立，試求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和兩直線平行的條件，可得f′（3）=27a+b=24，且f′（1）=3a+b=0，解方程可得a，b，令導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（Ⅱ）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值、最值，依題意，只需當(dāng)$x∈[{\frac{1}{3}，2}]$時，xt（x）≥1恒成立，即 $\frac{c}{x}+xlnx≥1$恒成立，亦即c≥x-x²lnx；令$h（x）=x-{x^2}lnx（x∈[{\frac{1}{3}，2}]）$，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和最大值，即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=ax³+bx的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3ax²+b，
又函數(shù)f（x）的圖象在點x=3處的切線與直線24x-y+1=0平行，
且函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，可得f′（3）=27a+b=24，
且f′（1）=3a+b=0，
解得a=1，b=-3，
即有f（x）=x³-3x（x∈R）；
令f′（x）=3x²-3≤0得：-1≤x≤1，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[-1，1]；
（Ⅱ）g′（x）=3x²-2x=3x（x-$\frac{2}{3}$），$x∈[{\frac{1}{3}，2}]$，
 可見，當(dāng)x∈[$\frac{2}{3}$，2]時，g′（x）≥0，g（x）在區(qū)間[$\frac{2}{3}$，2]單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$]時，g'（x）≤0，g（x）在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$]單調(diào)遞減，
而g（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{83}{27}$＜g（2）=1，所以，g（x）在區(qū)間$[{\frac{1}{3}，2}]$上的最大值是1．
依題意，只需當(dāng)$x∈[{\frac{1}{3}，2}]$時，xt（x）≥1恒成立，
即 $\frac{c}{x}+xlnx≥1$恒成立，亦即c≥x-x²lnx；
令$h（x）=x-{x^2}lnx（x∈[{\frac{1}{3}，2}]）$，
則h'（x）=1-x-2xlnx，顯然h'（1）=0，
當(dāng)$x∈[{\frac{1}{3}，1}）$時，1-x＞0，xlnx＜0，h′（x）＞0，
即h（x）在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，1]上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，2]時，1-x＜0，xlnx＞0，h'（x）＜0，（1，2]上單調(diào)遞減；
所以，當(dāng)x=1時，函數(shù)h（x）取得最大值h（1）=1，
故c≥1，即實數(shù)c的取值范圍是[1，+∞）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和構(gòu)造法，求得最值，考查運算能力，屬于中檔題．