Question

（本小題滿分14分）

已知點在拋物線上，點到拋物線的焦點F的距離為2，

直線與拋物線交于兩點.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）若以為直徑的圓與軸相切，求該圓的方程；

（Ⅲ）若直線與軸負半軸相交，求面積的最大值.

Answer 1

【解析】（Ⅰ）拋物線 的準線為，     ................1分

由拋物線定義和已知條件可知，

解得，故所求拋物線方程為.                .............................3分

（Ⅱ）聯(lián)立，消并化簡整理得.

依題意應(yīng)有，解得.               ............................4分

設(shè)，則，          ..............................5分

設(shè)圓心，則應(yīng)有.

因為以為直徑的圓與軸相切，得到圓半徑為，         ...............6分

又 .

所以 ，                        .....................7分

解得.                                         .........................8分

所以，所以圓心為.

故所求圓的方程為.                 .......................9分

方法二：

聯(lián)立，消掉并化簡整理得，

依題意應(yīng)有，解得.         ........................4分

設(shè)，則 .       ........................5分

設(shè)圓心，則應(yīng)有，

因為以為直徑的圓與軸相切，得到圓半徑為.    ......................6分

又 ，

又，所以有，              ...............................7分

解得，                                     .................8分

所以，所以圓心為.

故所求圓的方程為.             ...................9分

（Ⅲ）因為直線與軸負半軸相交，所以，

又與拋物線交于兩點，由（Ⅱ）知，所以，.........................10分

直線：整理得，

點到直線的距離 ，                .................................11分

所以.    .........................12分

令，，

，

	＋	0	－
		極大

由上表可得最大值為 .               ................................13分

所以當時，的面積取得最大值 .    ..................................14分