Question

【題目】如圖所示，平面平面，四邊形為矩形， ，點為的中點.

(1)證明： 平面.

(2)點為上任意一點，在線段上是否存在點，使得？若存在，確定點的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）中點

【解析】試題分析：

（1）連接交于，連接，利用是矩形得到，再由線面平行的判定定理可證；

（2）當為中點時，有；取中點，連接，結(jié)合三角形的中位線性質(zhì)以及面面平行的性質(zhì)進行推理得到平面即可.

試題解析：

(1)證明　連接AC交BD于O，連接OF，如圖①.

∵四邊形ABCD是矩形，∴O為AC的中點，又F為EC的中點，

∴OF為△ACE的中位線，:∴OF∥AE，又OF平面BDF，

AE平面BDF，∴AE∥平面BDF.

（2）當P為AE中點時，有PM⊥BE，
證明如下：取BE中點H，連接DP，PH，CH，
如圖

∵P為AE的中點，H為BE的中點，
∴PH∥AB，又AB∥CD，∴PH∥CD，
∴P，H，C，D四點共面．
∵平面ABCD∥平面BCE，CD⊥BC
∴CD⊥平面BCE，又BE平面BCE，
∴CD⊥BE∵BC=CE，H為BE的中點，
∴CH⊥BE，
∴BE⊥平面DPHC，又PM平面DPHC，
∴BE⊥PM即PM⊥BE