Question

15．已知f（x）=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}-2}}$（x＜-$\sqrt{2}$）．
（1）求f^-1（x）；
（2）若a₁=1，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=-f^-1（a_n），n∈N^*，求a_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）解析式求解得出x=-$\sqrt{2+\frac{1}{{y}^{2}}}$，再運用反函數(shù)的概念求解f^-1（x）=-$\sqrt{2+\frac{1}{{x}^{2}}}$．
（2）運用反函數(shù)的解析式得出$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{2+\frac{1}{{a}_{n}^{2}}}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}$$-\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=2，判斷，{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}為首項1，公差為2的等差數(shù)列．
求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}-2}}$（x＜-$\sqrt{2}$）．值域為（0，+∞）
∴x=-$\sqrt{2+\frac{1}{{y}^{2}}}$，
∴f^-1（x）=-$\sqrt{2+\frac{1}{{x}^{2}}}$．x＞0
（2）∵$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=-f^-1（a_n），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{2+\frac{1}{{a}_{n}^{2}}}$，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}$$-\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=2，
∵a₁=1，
∴$\frac{1}{{a}_{1}^{2}}$=1，{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}為首項1，公差為2的等差數(shù)列．
即$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=1+2（n-1）=2n-1，
得出a_n=$\frac{1}{\sqrt{2n-1}}$．

點評 本題考查了反函數(shù)的定義，運用解析式，遞推的思想，構(gòu)造法求解數(shù)列的通項公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義求解，屬于中檔題．