Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q,前n項(xiàng)和S_n＞0(n=1,2,3,…).

（1）求q的取值范圍；

（2）設(shè)b_n=a_n+2a_n+1,記{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，試比較S_n與T_n的大小.

Answer 1

解析：（1）因?yàn)閧a_n}為等比數(shù)列，S_n＞0，可以得到：a₁=S₁＞0,q≠0,

當(dāng)q=1時，S_n=na₁＞0;

當(dāng)q≠1時，S_n=＞0,即＞0(n=1,2,3,…),上式等價于不等式組(n=1,2,3,…)            ①

或,(n=1,2,3,…).            ②

解①式得q＞1，解②得-1＜q＜1.

綜上，q的取值范圍是（-1，0）∪(0,+∞).

（2）由b_n=a_n+2a_n+1得：b_n=a_n(q²-),

T_n=(q²-)S_n,于是T_n-S_n=S_n(q+)(q-2).

又因?yàn)镾_n＞0，當(dāng)-1＜q＜時，T_n-S_n＞0，即T_n＞S_n;

當(dāng)＜q＜2且q≠0時，T_n-S_n＜0,即T_n＜S_n;

當(dāng)q＞2時，T_n-S_n＞0,即T_n＞S_n.

當(dāng)q=或q=2時，T_n-S_n=0，即T_n=S_n.