Question

7．如圖：在四棱錐E-ABCD中，CB=CD=CE=1，AB=AD=AE=$\sqrt{3}$，EC⊥BD，底面四邊形是個圓內接四邊形，且AC是圓的直徑．
（1）求證：平面BED⊥平面ABCD；
（2）點P是平面ABE內一點，滿足DP∥平面BEC，求直線DP與平面ABE所成角的正弦值的最大值
．

Answer 1

分析 （1）推導出AC⊥BD，從而EO⊥AC，EO⊥BD，由此能證明直線EO⊥平面ABCD．即可證明
（2）取AE的中點M，AB的中點N，連接MN，ND，可得點P在線段MN上．
以O 為原點，OA為x軸，OB為y軸，OE為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法即可．

解答 解：（1）證明：連接AC，BD，交于點O，連接EO，
∵AD=AB，CD=CB∴AC⊥BD，
又∵EC⊥DB，EC∩AC=C，故DB⊥面AEC，從而  BD⊥OE，
又AC是直徑∴∠ADC=∠ABC=90°，
由AD=$\sqrt{3}$，CD=1可解得，AO=$\frac{3}{2}$，則$\frac{CO}{EO}=\frac{CE}{AC}$，故EO⊥AC；
故EO⊥平面ABCD，平面BED⊥平面ABCD．…（5分）
（2）取AE的中點M，AB的中點N，連接MN，ND，
則MN∥BE，且MN?平面EBC，∴MN∥平面EBC；
而DN⊥AB，BC⊥AB，∴DN∥BC，且DN?平面EBC，∴DN∥平面EBC．
綜上所述，平面DMN∥平面EBC，∴點P在線段MN上．
如圖建立空間直角坐標系，則A（$\frac{3}{2}$，0，0），B（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），E（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{3}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
設平面ABE法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則
$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}x+y=0}\\{-\sqrt{3}x+z=0}\end{array}\right.$   取$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），

設$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{MN}$，可得    $\overrightarrow{DP}$=$\overrightarrow{DM}$+$\overrightarrow{MP}$=（$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}λ$，$\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}λ$），
設直線DP與平面ABE所成角為θ，則sinθ=$\frac{12}{\sqrt{42}•\sqrt{{λ}^{2}+λ+4}}$．
∵0≤λ≤1∴當λ=0時，sinθ的最大值為$\frac{\sqrt{42}}{7}$．

點評 題考查面面垂直的證明，考查線面角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．