Question

（2009•孝感模擬）已知向量

a

=（cos x，0），

b

=（0，sin x），記函數(shù)f（x）=（

a

+

b

）²+sin 2x，
（1）求函數(shù)f（x）的最大值和取最小值；
（2）若不等式|f（x）-t|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上有解，求實屬t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=（

a

+

b

）²+sin 2x=1+sin2x結(jié)合-1≤sin2x≤1可求函數(shù)的最值
（2）由x∈[

π

4

，

π

2

]可得sin2x∈[0，1]，而|f（x）-t|=|sin2x-t+1|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上有解，可得t-3＜sin2x＜1+t，從而可求t的范圍

解答：解：（1）∵f（x）=（

a

+

b

）²+sin 2x=1+sin2x
∵-1≤sin2x≤1
∴0≤f（x）≤2
∴函數(shù)f（x）的最小值是0，f（x）的最大值是2
（2）∵x∈[

π

4

，

π

2

]
∴sin2x∈[0，1]
∵|f（x）-t|=|sin2x-t+1|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上有解，
∴t-3＜sin2x＜1+t
∴

t-3≤0 t+1≥1

∴0≤t≤3

點評：本題主要考查了平面向量的數(shù)量積的基本運算及正弦函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔試題