Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，過動(dòng)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，且滿足，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)作與軸不平行的直線，交曲線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，記，，分別為，，的斜率，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析

【解析】

解法一：（I）用x,y分別表示，結(jié)合，構(gòu)造等式，即可。（II）設(shè)出直線l的方程，代入拋物線方程，設(shè)出M,N的坐標(biāo)，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，計(jì)算，即可。解法二：（I）設(shè)出P,Q坐標(biāo)，結(jié)合，建立方程，即可。（II）設(shè)出直線l的方程，代入拋物線方程，設(shè)出M,N的坐標(biāo)，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，計(jì)算，即可。解法三（I）利用向量數(shù)量積關(guān)系，建立方程，計(jì)算結(jié)果，即可。（II）與解法一、二相同。

解法一：

（Ⅰ）設(shè)，則，

，，.

∵，

∴，

代入整理得，

曲線的方程為.

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，，

聯(lián)立，

整理得，

設(shè)，，

則，

∵，，

∴

，

∴為定值.

解法二：（Ⅰ）設(shè)，則，

∴，，

∵，

∴.

整理得，

曲線的方程為.

（Ⅱ）依題意得，直線的方程為，，

聯(lián)立，

整理得，

設(shè)，，

則，

∵，，

∴

，

∴為定值.

解法三：（Ⅰ）設(shè)，則，

∴，，

∵，

∴.

整理得，

曲線的方程為.

（Ⅱ）同解法一，解法二.