Question

已知拋物線的頂點為原點,其焦點到直線:的距離為.設(shè)為直線上的點,過點作拋物線的兩條切線,其中為切點.

(Ⅰ) 求拋物線的方程；

(Ⅱ) 當(dāng)點為直線上的定點時,求直線的方程；

(Ⅲ) 當(dāng)點在直線上移動時,求的最小值.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)  (Ⅱ)  (Ⅲ)

【解析】(Ⅰ) 依題意,設(shè)拋物線的方程為,由結(jié)合,

解得. 所以拋物線的方程為.

(Ⅱ) 拋物線的方程為,即,求導(dǎo)得

設(shè),(其中),則切線的斜率分別為,,

所以切線的方程為,即,即

同理可得切線的方程為

因為切線均過點,所以,

所以為方程的兩組解.

所以直線的方程為.

(Ⅲ) 由拋物線定義可知,,

所以

聯(lián)立方程,消去整理得

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得,

所以

又點在直線上,所以,

所以

所以當(dāng)時, 取得最小值,且最小值為.

(1)利用點到直線的距離公式直接求解C的值，便可確定拋物線方程；（2）利用求導(dǎo)的思路確定拋物線的兩條切線，借助均過點P，得到直線方程；（3）通過直線與拋物線聯(lián)立，借助韋達定理和拋物線定義將進行轉(zhuǎn)化處理，通過參數(shù)的消減得到函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵，然后利用二次函數(shù)求最值，需注意變量的范圍.

【考點定位】本題考查拋物線的方程、定義、切線方程以及直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的分析問題的能力和轉(zhuǎn)化能力、計算能力.