Question

15．已知拋物線C：y²=4x的焦點F，直線MN過焦點F且與拋物線C交于M，N兩點，D為線段MF上一點，且|MD|=2|NF|，若|DF|=1，則|MF|=2+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 依題意F（1，0），設直線MN方程為x=my+1．將直線MN的方程與拋物線的方程聯立，得y²-4my-4=0．由此能夠求出直線的斜率，可得|MF|．

解答 解：依題意F（1，0），設直線MN方程為x=my+1．            
將直線MN的方程與拋物線的方程聯立，消去x得y²-4my-4=0． 
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），所以 y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4．
x₁x₂=$\frac{1}{16}$（y₁y₂）²=1①
因為|MD|=2|NF|，|DF|=1，
所以 x₁=2x₂+2②
聯立①和②，解得x₁=1+$\sqrt{3}$（負的舍去），
|MF|=x₁+1=2+$\sqrt{3}$．
故答案為：2+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查直線斜率的求法，拋物線的簡單性質的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的條件，合理地進行等價轉化．