Question

已知a、b、c是互不相等的非零實數(shù).

求證:三個方程ax²+2bx+c=0,bx²+2cx+a=0,cx²+2ax+b=0至少有一個方程有兩個相異實根.

Answer 1

證明:反證法:

假設(shè)三個方程中都沒有兩個相異實根，

則Δ₁=4b²-4ac≤0,Δ₂=4c²-4ab≤0,Δ₃=4a²-4bc≤0.

相加有a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+c²-2ac+a²≤0，

(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²≤0.                                                      ①

由題意a、b、c互不相等，

∴①式不能成立.

∴假設(shè)不成立,即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根.