Question

研究函數(shù)的對(duì)稱中心有如下結(jié)論：如果存在實(shí)數(shù)a, b使恒成立，則（a, b）為函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心.

   （1）求證函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心為（0，1），并求函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心；

   （2）試用函數(shù)的性質(zhì)及圖象變換解釋：“如果存在實(shí)數(shù)a, b使恒成立，則（a, b）為函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心.”

   （3）是否存在函數(shù)，使函數(shù)的圖象有相同的對(duì)稱中心（c,d）？請(qǐng)對(duì)時(shí)，說明你的結(jié)論與理由.

Answer 1

解：（1）對(duì)于函數(shù)恒成立，

所以的圖象的對(duì)稱中心為（0，1）.

設(shè)的對(duì)稱中心為（a,b）

則恒成立，

即恒成立，

即恒成立，

所以

所以的圖象的對(duì)稱中心為（－1，0）

（2）由

令為奇函數(shù)，

其圖像關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，

而函數(shù)的圖象可由向右平移a（a>0）或向左平移單位或不進(jìn)行左右平移（a=0），向上平移b（b>0）或向下平移－b（b<0）或不進(jìn)行上下平移（b=0）單位得到，所以的圖像的對(duì)稱中心為（a,b）.

說明：（1）中分別說明，仿（2）也可！

（3）假設(shè)存在函數(shù)，使有相同的對(duì)稱中心（c,d）且，則，且

所以的兩個(gè)實(shí)數(shù)，

而該方程當(dāng)時(shí)，，

所以假設(shè)錯(cuò)誤.

所以，不存在函數(shù)有相同的對(duì)稱中心（c,d），

其中.