Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(n－1)α·tan nα＝－n(n∈N^*，n≥2)．

Answer 1

證明　(1)當(dāng)n＝2時，右邊＝－2＝－2＝＝tan α·tan 2α＝左邊，等式成立．

(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N^*且k≥2)時，等式成立，即

tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＝－k，

那么當(dāng)n＝k＋1時，

tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＋tan kα·tan(k＋1)α

＝－k＋tan kα·tan(k＋1)α

＝＋1＋tan kα·tan(k＋1)α－(k＋1)

＝＋－(k＋1)

＝－(k＋1)．

這就是說，當(dāng)n＝k＋1時等式也成立．

由(1)(2)知，對任何n∈N^*且n≥2，原等式成立．