Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= sinx+cosωx（ω＞0）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次構(gòu)成一個(gè)公差為 的等差數(shù)列，把函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向左平移 個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，則（ ）
A.g（x）是奇函數(shù)
B.g（x）關(guān)于直線x=﹣ 對(duì)稱(chēng)
C.g（x）在[ ， ]上是增函數(shù)
D.當(dāng)x∈[ ， ]時(shí)，g（x）的值域是[2，1]

Answer 1

【答案】D
【解析】解：f（x）= sinx+cosωx（ω＞0），
化簡(jiǎn)得：f（x）=2sin（x+ ），
∵圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次構(gòu)成一個(gè)公差為 的等差數(shù)列，可知周期為π
∴T=π= ，解得ω=2．
那么：f（x）=2sin（2x+ ），圖象沿x軸向左平移 個(gè)單位，得：2sin[2（x+ ）+ ]=2cos2x．
∴g（x）=2cos2x，故g（x）是偶函數(shù)，在區(qū)間[0， ]單調(diào)減函數(shù)．所以A，C不對(duì)．
對(duì)稱(chēng)軸方程為x= （k=Z），檢驗(yàn)B不對(duì)．
當(dāng)x∈[ ， ]時(shí)，那么2x∈[ ， ]，g（x）的最大值為1，最小值為﹣2，故值域?yàn)閇﹣2，1]．D正確．
故選：D．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關(guān)知識(shí)，掌握?qǐng)D象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．