Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓 =1（a＞b＞0）的離心率為 ，長軸長為4，過橢圓的左頂點(diǎn)A作直線l，分別交橢圓和圓x2+y2=a2于相異兩點(diǎn)P，Q．

（1）若直線l的斜率為 ，求 的值；
（2）若 =λ ，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由條件可得，2a=4，e= = ，a2﹣b2=c2，

解得a=2，b=c= ，

可得橢圓的方程為 ，圓的方程為x2+y2=4；

（方法一）直線l的方程為 ，由 得：3x2+4x﹣4=0，

解得 ，所以 ；

所以 ，又因?yàn)樵�點(diǎn)O到直線l的距離 ，

所以 ，

所以 ；

（方法二）由 得3y2﹣4y=0，所以yP= ，

由 可得5y2﹣8y=0，解得yQ= ，

所以 = = × =

（2）解：（方法一）若 ，則λ= ﹣1，

設(shè)直線l：y=k（x+2），由 得，（2k2+1）x2+8k2﹣4=0，

即（x+2）[（2k2+1）x+（4k2﹣2）]=0，

所以 ，得 ；

所以 ，

即 ，同理Q（ ， ）， ，

即有λ= ﹣1=1﹣ ，

由k2＞0，可得0＜k2＜1．

（方法二）由方法一可得，λ= ﹣1= ﹣1= ﹣1=1﹣ ，

由題意：k2＞0，所以0＜λ＜1

【解析】（1）由題意可得a=2，運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系可得b，c，進(jìn)而得到橢圓方程和圓的方程，設(shè)出直線l的方程代入橢圓方程，求得弦長AP，運(yùn)用圓的弦長公式可AQ，進(jìn)而所求之比；或聯(lián)立直線的方程和橢圓方程（或圓的方程）求得P，Q的縱坐標(biāo)，即可得到所求之比；（2）若 ，則 ，設(shè)直線l：y=k（x+2），代入橢圓方程，求得交點(diǎn)，以及弦長AP，代入圓方程可得交點(diǎn)，可得弦長AQ，可得實(shí)數(shù)λ的式子，運(yùn)用不等式的性質(zhì)即可得到所求范圍；或?qū)⒅本�方程代入橢圓方程（圓方程）求得P，Q的縱坐標(biāo)，由坐標(biāo)之比，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得到所求范圍．