Question

已知a＞0，函數(shù)f(x)=ax-bx².

(1)當(dāng)b＞0時，若對任意x∈R都有f(x)≤1,證明a≤2；

(2)當(dāng)b＞1時，證明對任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1的充要條件是b-1≤a≤2.

Answer 1

證明：（1）依題意設(shè)對任意x∈R都有f(x)≤1,

∵f(x)=-b(x-)²+,

∴f()= ≤1.

又∵a＞0,b＞0,∴a≤2.

（2）必要性：對任意x∈［0,1］,
|f(x)|≤1f(x)≥-1,

∴f(1)≥-1，即a-b≥-1.∴a≥b-1.

對任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1f(x)≤1,

∵b＞1,可以推出f(）≤1,即a·-1≤1.

∴a≤2.

∴b-1≤a≤2.

充分性：∵b＞1,a≥b-1,對任意x∈［0,1］,可以推出ax-bx²≥b(x-x²)-x≥-x≥-1,即ax-bx²≥-1.

∵b＞1,a≤2,對任意x∈［0,1］,可以推出ax-bx²≤2x-bx²≤1,即ax-bx³≤1.

∴-1≤f(x)≤1.

綜上，當(dāng)b＞1時，對任意x∈［0,1］,｜f(x)｜≤1的充要條件是b-1≤a≤2.