Question

在直角坐標(biāo)系xoy中，以O(shè)為圓心的圓和直線x-

3

y-4=0相切．
（1）求圓O的方程；
（2）過點(diǎn)P（-1，-2）的直線l與圓O交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=2

3

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)圓的半徑等于R，由以O(shè)為圓心的圓和直線x-

3

y-4=0相切，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得 R的值，即可求得圓的方程．
（2）根據(jù)弦長(zhǎng)和半徑利用弦長(zhǎng)公式求得圓心到直線的距離d=1．當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，直線l的方程為 x=1，滿足條件．當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，用點(diǎn)斜式設(shè)出直線l的方程，
由d=1求出直線的斜率k的值，即可得到直線的方程．綜合可得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)圓的半徑等于R，由以O(shè)為圓心的圓和直線x-

3

y-4=0相切可得 R=

|0-0-4|

1+3

=2，
故所求的圓的方程為 x²+y²=4．
（2）過點(diǎn)P（-1，-2）的直線l與圓O交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=2

3

，R=2，故圓心到直線的距離d=

22-( 3 ) 2

=1，
當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，直線l的方程為 x=1，滿足條件．
當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為 y+2=k（x+1），即 kx-y+k-2=0，由d=1=

|k-2|

k2+1

，可得 k=

3

4

．
故直線l的方程為 y+2=

3

4

（x+1），即 3x-4y-5=0．
綜上可得，直線l的方程為  x-1=0，或3x-4y-5=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．