Question

【題目】已知橢圓： （）的左焦點(diǎn)為，左準(zhǔn)線方程為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知直線交橢圓于， 兩點(diǎn).

①若直線經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且滿足， .求證： 為定值；

②若（為原點(diǎn)），求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）①②

【解析】試題分析：（1）根據(jù)左焦點(diǎn)坐標(biāo)得，根據(jù)左準(zhǔn)線方程得，解方程組得，（2）①以算代證：即利用， 坐標(biāo)表示，根據(jù)直線的方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)得定值，②的面積，因此根據(jù)直線的方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求（用斜率表示），同理可得，代入面積公式化簡(jiǎn)可得.最后利用二次函數(shù)方法求值域，注意討論斜率不存在的情形.

試題解析：解：（1）由題設(shè)知， ， ，

， ，

： .

（2）①由題設(shè)知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則.

設(shè)， ，直線代入橢圓得，整理得，

， ， .

由， 知， ，

（定值）.

②當(dāng)直線， 分別與坐標(biāo)軸重合時(shí)，易知的面積，

當(dāng)直線， 的斜率均存在且不為零時(shí)，設(shè)： ， ： ，

設(shè)， ，將代入橢圓得到，

， ，同理， ，

的面積 .

令 ， ，

令，則 .

綜上所述， .