Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）求過點(diǎn)的的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在的最大值；

（3）證明：當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)任意均成立（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)， ）.

Answer 1

【答案】（1），（2）當(dāng)時(shí)， 的最大值為；

當(dāng)時(shí)， 的最大值為；（3）見解析

【解析】試題分析：（1）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，表示出切線方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出切線方程即可；

（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出F（x）的最大值即可；

（3）問題可化為m＞（x﹣2）ex+lnx﹣x，設(shè)，要證m≥﹣3時(shí)m＞h（x）對(duì)任意均成立，只要證h（x）max＜﹣3，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

試題解析：

解：（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為，

將代入上式，得， ，

∴切線方程為；

（2）當(dāng)時(shí)， ， ，

∴， ，

當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

∴在遞增，在遞減，

∴當(dāng)時(shí)， 的最大值為；

當(dāng)時(shí)， 的最大值為；

（3）可化為，

設(shè)， ，要證時(shí)對(duì)任意均成立，只要證，下證此結(jié)論成立.

∵，∴當(dāng)時(shí)， ，

設(shè)，則，∴在遞增，

又∵在區(qū)間上的圖象是一條不間斷的曲線，

且， ，

∴使得，即， ，

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ， ；

∴函數(shù)在遞增，在遞減，

∴ ，

∵在遞增，∴，即，

∴當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)任意均成立.