Question

14．如圖，三棱錐P-ABC的棱長(zhǎng)都相等，D是棱AB的中點(diǎn)，則直線PD與直線BC所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{6}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{4}$

Answer 1

分析 取AC的中點(diǎn)E，DE∥BC，即構(gòu)造出直線PD與直線BC所成角為∠PDE．

解答 解：取AC的中點(diǎn)E，連接DE，PE，
∴DE∥BC，則直線PD與直線BC所成角為∠PDE．
∵三棱錐P-ABC的棱長(zhǎng)都相等，設(shè)：AP=PB=PC=a，D是棱AB的中點(diǎn)，
∴PD⊥AB，PE⊥AC，PD=PE，
可得：△APE≌△ADP，且是直角三角形，
∴PD=PE=$\sqrt{P{A}^{2}-A{E}^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$．
利用余弦定理：
∴cos∠PDE=$\frac{P{D}^{2}+D{E}^{2}-P{E}^{2}}{2PD•DE}$=$\frac{（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}+（\frac{1}{2}a）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}a×\frac{1}{2}a}=\frac{\sqrt{3}}{6}$
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的大小以及利用余弦定理來(lái)求余弦值，學(xué)會(huì)利用已知條件，作出輔助線，構(gòu)造出異面直線所成角，注重空間思維能力的培養(yǎng)．屬于中檔題．