Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁中點．
（Ⅰ）求證：AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）求直線B₁C₁與平面A₁BD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取BC中點E，連接B₁E，證明BD⊥平面AEB₁，得BD⊥AB₁，由直線與平面垂直的判定定理，可得所證結(jié)論．
（Ⅱ）設(shè)AB₁∩A₁B=O，延長BD，B₁C₁，相交于F，連接OF，則∠OFB₁為直線B₁C₁與平面A₁BD所成角，利用正弦函數(shù)可得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）證明：由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都相等可知：AB₁⊥A₁B
如圖，取BC的中點E，連接B₁E，則Rt△BCD≌Rt△B₁BE
∴∠BB₁E=∠CBD
∴∠CBD+∠BEB₁=∠BB₁E+∠BEB₁=90°
∴BD⊥B₁E
由平面ABC⊥平面BCC₁B₁，平面ABC∩平面BCC₁B₁=BC，且AE⊥BC得，AE⊥平面BCC₁B₁
∴AE⊥BD
∵B₁E?平面AEB₁，AE?平面AEB₁，AE∩B₁E=E
∴BD⊥平面AEB₁
∴BD⊥AB₁
∵A₁B?平面A₁BD，BD?平面A₁BD，A₁B∩BD=B
∴AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）解：設(shè)AB₁∩A₁B=O，延長BD，B₁C₁，相交于F，連接OF，則∠OFB₁為直線B₁C₁與平面A₁BD所成角．
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁中點，
∴OB1=

2

，B₁F=4
∴sin∠OFB₁=

OB1

B1F

=

2

4

．

點評：本題考查線面垂直，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．