Question

已知x，y∈R，且x＞y＞e（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），試比較x^y與y^x的大小，并給出證明過程．

Answer 1

分析：由x＞y＞e，可構(gòu)造函數(shù)f（x）=

lnx

x

，當(dāng)x＞y＞e時(shí)利用其單調(diào)遞減的性質(zhì)，即可判斷x^y與y^x的大小．

解答：解：當(dāng)x＞y＞e時(shí)，x^y＜y^x．
證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=

lnx

x

，則f′（x）=

1 x •x-lnx

x2

=

1-lnx

x2

，
∵x＞y＞e，故lnx＞1，
∴f′（x）=

1-lnx

x2

＜0，
∴f（x）=

lnx

x

在（e，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x＞y＞e時(shí)，

lnx

x

＜

lny

y

，
∴ylnx＜xlny，即lnx^y＜lny^x．
∴x^y＜y^x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式比較大小，著重考查構(gòu)造函數(shù)思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于難題．