Question

已知函數(shù) 的定義域是 ， 是 的導(dǎo)函數(shù)，且 在上恒成立

（Ⅰ）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間。

（Ⅱ）若函數(shù) ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

（Ⅲ）設(shè) 是 的零點(diǎn) ， ，求證： ．

 

Answer 1

（Ⅰ）的單增區(qū)間是，無單減區(qū)間；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)已知條件判斷出在定義上正負(fù)，從而求出的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求出的導(dǎo)數(shù)，將與代入，將條件具體化，根據(jù)在上恒成立，通過參變分離化為在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值M，從而得出實(shí)數(shù)a的取值范圍a＞M；

（Ⅲ）由是 的零點(diǎn)知，是 的零點(diǎn)，由（Ⅰ）知 在（0，+）是單調(diào)增函數(shù)，得出當(dāng)時(shí)，，即，即＜0，在利用的單調(diào)性得出，利用不等式性質(zhì)得出與的關(guān)系，即可得出所證不等式．

試題解析：（Ⅰ）

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719210964095191/SYS201411171921235945158874_DA/SYS201411171921235945158874_DA.026.png">在上恒成立

所以在上恒成立

所以的單增區(qū)間是，無單減區(qū)間 （3分）

（Ⅱ）

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719210964095191/SYS201411171921235945158874_DA/SYS201411171921235945158874_DA.026.png">在上恒成立

所以在上恒成立

即在上恒成立 （4分）

設(shè) 則

令得

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，所以． （8分）

（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719210964095191/SYS201411171921235945158874_DA/SYS201411171921235945158874_DA.042.png">是的零點(diǎn)，所以

由（Ⅰ）知，在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，，即

所以當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719210964095191/SYS201411171921235945158874_DA/SYS201411171921235945158874_DA.046.png">，所以，且

即

所以

所以 （12分）

考點(diǎn)：常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)間關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，推理論證能力