Question

20．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1與過(guò)點(diǎn)（0，-1）的直線相交于M，N兩點(diǎn)，若MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-$\frac{2}{3}$，則直線的方程是y=x-1．

Answer 1

分析 設(shè)直線方程為y=kx-1代入$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1得（5-2k）x²+4kx-12=0，根據(jù)韋達(dá)定理及MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-$\frac{2}{3}$，即可求出直線的方程．

解答 解：設(shè)直線方程為y=kx-1代入$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1得（5-2k）x²+4kx-12=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{4k}{2k-5}$，
∵M(jìn)N的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{4k}{2k-5}$=-$\frac{4}{3}$，解得k=1，
∴直線的方程是y=x-1．
故答案為：y=x-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題，同時(shí)考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)等．