Question

5．已知函數(shù)$f（x）=\frac{lnx}{x+a}（{a∈R}）$．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x+y+1=0垂直，求a的值；
（2）討論方程f（x）=1的實(shí)根的情況．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（1）=1，求出a的值即可；（2）得到a=lnx-x，通過討論a的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方程根的情況．

解答 解：（1）由題意得：f′（x）=$\frac{\frac{x+a}{x}-lnx}{{（x+a）}^{2}}$，
故f′（1）=$\frac{1+a}{{（1+a）}^{2}}$=$\frac{1}{1+a}$，
由曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的曲線與直線x+y+1=0垂直，得：f′（1）=1，
故$\frac{1}{1+a}$=1，解得：a=0；
（2）方程f（x）=1即$\frac{lnx}{x+a}$=1，a=lnx-x，（x≠-a），
當(dāng)x=-a時(shí)，得：a=ln（-a）-（-a），解得：a=-1，
a=-1時(shí)，解得：x=1，當(dāng)x≠-a，即x≠1，故a=-1時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根，
令g（x）=lnx-x，（x＞0），則g′（x）=$\frac{1-x}{x}$，（x＞0），
故x∈（0，1）時(shí)，g（x）是遞增函數(shù)，x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）是遞減函數(shù)，
故g（x）≤g（1））=-1，
a＜-1時(shí)，由e^a∈（0，1），得：g（e^a）=lne^a-e^a=a-e^a＜a，
又e^-a∈（1，+∞），令h（x）=e^x-2x，則h′（x）=e^x-2，
在區(qū)間（1，+∞）上h′（x）＞0，h（x）遞增，
故h（x）＞h（1）＞0，即e^x＞2x，故e^-a＞-2a，
故g（e^-a）=-a-e^-a＜-a-（-2a）=a，
故a＜-1時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根，
當(dāng)a≥-1時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．