Question

如圖，設(shè)拋物線C：y=x²的焦點為F，動點P在直線l：x-y-2=0上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點．
（1）求△APB的重心G的軌跡方程．
（2）證明∠PFA=∠PFB．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出A、B坐標(biāo)，寫出切線PA、PB方程，得到點P坐標(biāo)，利用三角形重心坐標(biāo)公式求重心G坐標(biāo)．
（2）利用兩個向量的夾角公式計算cos∠AFP和cos∠BFP相等，從而得到∠AFP=∠PFB．
方法2：利用P點到直線AF的距離和P點到直線BF的距離相等，可得FP 是AF和BF角平分線，故∠AFP=∠PFB．
解答：解：（1）設(shè)切點A、B坐標(biāo)分別為（x，x²）和（x₁，x₁²）（（x₁≠x），
∴切線AP的方程為：2xx-y-x²=0；切線BP的方程為：2x₁x-y-x₁²=0．
解得P點的坐標(biāo)為：x_P=，y_P=xx₁．
所以△APB的重心G的坐標(biāo)為，y_G====，
所以y_p=-3y_G+4x_G²．
由點P在直線l上運動，從而得到重心G的軌跡方程為：x-（-3y+4x²）-2=0，即y=（4x²-x+2）．
（2）方法1：因為=（x，x²-），=（，xx₁-），=（x₁，x₁²-）．
由于P點在拋物線外，則||≠0．
∴cos∠AFP===，
同理有cos∠BFP===，
∴∠AFP=∠PFB．
方法2：①當(dāng)x₁x=0時，由于x₁≠x，不妨設(shè)x=0，則y=0，所以P點坐標(biāo)為（，0），
則P點到直線AF的距離為：d₁=．
而直線BF的方程：y-=x，即（x₁²-）x-x₁y+=0-0．
所以P點到直線BF的距離為：d₂===
所以d₁=d₂，即得∠AFP=∠PFB．
②當(dāng)x₁x≠0時，直線AF的方程：y-=（x-0），即（x²-）x-xy+=0，
直線BF的方程：y-=（x-0），即（x₁²-）x-x₁y+=0，
所以P點到直線AF的距離為：d₁===，
同理可得到P點到直線BF的距離d₂=，因此由d₁=d₂，可得到∠AFP=∠PFB．
點評：方法一利用兩個向量的夾角公式，方法二利用到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上，分兩種情況討論，
方法一比方法二簡單，屬于中檔題．