Question

給出下列命題：
①當(dāng)α=4.5π時(shí)，函數(shù)y=cos（2x+α）是奇函數(shù)；
②函數(shù)y=sinx在第一象限內(nèi)是增函數(shù)；
③函數(shù)f(x)=sin2x-(

2

3

)|x|+

1

2

的最小值是-

1

2

；
④存在實(shí)數(shù)α，使sinα•cosα=1；
⑤函數(shù)y=

3

sinωx+cosωx(ω＞0)的圖象關(guān)于直線x=

π

12

對稱?ω=4k（k∈N^*）．
其中正確的命題序號是

①③

．

Answer 1

分析：①當(dāng)α=4.5π時(shí)，函數(shù)y=cos（2x+α）=-sin2x是奇函數(shù)；
②因?yàn)閥=sinx在[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]上是增函數(shù)．而說第一象限是增函數(shù)不對的；
③在函數(shù)f(x)=sin2x-(

2

3

)|x|+

1

2

中，-

1

2

≤sin²x-（

2

3

）^|x|+

1

2

；
④sinα•cosα=

1

2

sin2α∈[-

1

2

，

1

2

]；
⑤y=

3

sinωx+cosωx(ω＞0)的圖象關(guān)于直線x=

π

12

對稱?ω=4．

解答：解：①當(dāng)α=4.5π時(shí)，函數(shù)y=cos（2x+α）=-sin2x，是奇函數(shù)，故①正確；
②因?yàn)閥=sinx在[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]上是增函數(shù)．而說第一象限是增函數(shù)不對的，
因?yàn)樵谝粋�(gè)象限并不一定在一個(gè)區(qū)間內(nèi)．所以②錯(cuò)誤；
③在函數(shù)f(x)=sin2x-(

2

3

)|x|+

1

2

中，
∵0≤sin²x≤1，-1≤-（

2

3

）^|x|＜0，
∴-

1

2

≤sin²x-（

2

3

）^|x|+

1

2

，
∴函數(shù)f(x)=sin2x-(

2

3

)|x|+

1

2

有最小值-

1

2

，故③正確；
④∵sinα•cosα=

1

2

sin2α∈[-

1

2

，

1

2

]，
∴不存在實(shí)數(shù)α，使sinα•cosα=1，故④不正確；
⑤∵y=

3

sinωx+cosωx(ω＞0)
=2sin（ωx+

π

6

）（ω＞0）的圖象關(guān)于直線x=

π

12

對稱，
∴ω=4．故⑤不正確．
故答案為：①③．

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．