Question

【題目】給定整數(shù)，數(shù)列、、、每項(xiàng)均為整數(shù)，在中去掉一項(xiàng)，并將剩下的數(shù)分成個(gè)數(shù)相同的兩組，其中一組數(shù)的和與另外一組數(shù)的和之差的最大值記為. 將、、、中的最小值稱為數(shù)列的特征值.

（Ⅰ）已知數(shù)列、、、、，寫出、、的值及的特征值；

（Ⅱ）若，當(dāng)，其中、且時(shí)，判斷與的大小關(guān)系，并說明理由；

（Ⅲ）已知數(shù)列的特征值為，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；；.的特征值為；（Ⅱ），理由見解析；（Ⅲ）最小值為.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題中的定義可求出、、的值及的特征值；

（Ⅱ）分、和、兩種情況討論，結(jié)合題中定義可證明出；

（Ⅲ）設(shè)，利用（Ⅱ）中的結(jié)論，結(jié)合數(shù)列的特征值為，可得出，并證明出，即可求出的最小值.

（Ⅰ）由題知：，，，

的特征值為；

（Ⅱ）.

理由如下：由于，可分下列兩種情況討論：

當(dāng)、時(shí)，

根據(jù)定義可知：，

同理可得：.

所以，所以.

當(dāng)、時(shí)，同理可得：

，

所以，所以.

綜上有：；

（Ⅲ）不妨設(shè)，

，

顯然，，

.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；

由（Ⅱ）可知、的較小值為，

所以.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

此時(shí)數(shù)列為常數(shù)列，其特征值為，不符合題意，則必有

.

下證：若，，總有.

證明：

.

所以.

因此

.

當(dāng)時(shí)，可取到最小值，符合題意.

所以的最小值為.