Question

，定義，其中n∈N*.

（Ⅰ）求的值，并求證：數(shù)列｛a_n｝是等比數(shù)列；

（II）若，其中n∈N*，試比較9與大小，并說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1），

數(shù)列｛a_n｝是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列。   （2）9>.

【解析】本試題主要是考查了數(shù)列的求和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的 運(yùn)用。證明數(shù)列是否為等比數(shù)列以及關(guān)于數(shù)列的單調(diào)性的運(yùn)用。比較大小。

（1）對(duì)n賦值得到前兩項(xiàng)，然后發(fā)現(xiàn)規(guī)律得到

，從而證明等比數(shù)列

（2）由(1)知，然后利用分組求和得到前n項(xiàng)和的結(jié)論，并利用作差法比較大小。

證明：（1）＝2，，

，

∴

∴，∴數(shù)列｛a_n｝是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列。

（2）由(1)知

兩式相減得： 

，又

當(dāng)n=1時(shí)，9＜；

當(dāng)n=2時(shí)，9＜；

當(dāng)n≥3時(shí)，2²ⁿ=[(1+1)ⁿ]²=()²>(2n+1)²,∴9>.