Question

設(shè)F₁、F₂為橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為上一點(diǎn)，已知P、F₁、F₂是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且｜PF₁｜＞｜PF₂｜，求的值.

Answer 1

由已知，｜PF₁｜＞｜PF₂｜，｜PF₁｜＋｜PF₂｜＝6，｜F₁F₂｜＝，

若∠PF₂F₁為直角，則｜PF₁｜²＝｜PF₂｜²＋｜F₁F₂｜²，可解得：｜PF₁｜＝，｜PF₂｜＝，這時(shí).

若∠F₂PF₁為直角，則｜PF₁｜²＋｜PF₂｜²＝｜F₁F₂｜²，可解得：｜PF₁｜＝4，｜PF₂｜＝2，這時(shí).

解法2：由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)P(x,y)（其中x>0,y>0），.若∠PF₂F₁為直角，則P（），這時(shí)｜PF₁｜＝，｜PF₂｜＝，這時(shí).若∠PF₂F₁為直角，則由，解得：.

于是｜PF₁｜＝4，｜PF₂｜＝2，這時(shí).

點(diǎn)評(píng)：由橢圓的方程，熟練準(zhǔn)確地寫出其幾何性質(zhì)（如頂點(diǎn)，焦點(diǎn)，長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)，焦距，離心率，焦半徑等）是應(yīng)對(duì)考試必備的基本功；在解法2中設(shè)出了P點(diǎn)坐標(biāo)的前提下，還可利用｜PF₁｜＝a+ex,｜PF₂｜=a-ex來(lái)求解.

解析:

由已知，F₁不是直角頂點(diǎn)，所以只要對(duì)P、F₂中哪一個(gè)是直角頂點(diǎn)分兩種情況即可.