Question

已知函數(shù)f（x）=

lnx

x

．
（1）求函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程．
（2）若方程f（x）-t=0在[

1

e

，e2]上有兩個不同的解，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知中的函數(shù)解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，將x=1代入求出切點坐標(biāo)及切線的斜率（導(dǎo)函數(shù)值），進而求出切線方程；
（2）方程f（x）-t=0在[

1

e

，e2]上有兩個不同的解，即函數(shù)y=f（x），y=t在[

1

e

，e2]上有兩個不同的交點，分析出函數(shù)的極大值，及區(qū)間兩個端點的值，可得 t的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=

lnx

x

∴f（1）=0
又∵f′（x）=

1-lnx

x2

∴f′（1）=1
∴函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=x-1，即x-y-1=0
（2）方程f（x）-t=0在[

1

e

，e2]上有兩個不同的解，
則函數(shù)y=f（x），y=t在[

1

e

，e2]上有兩個不同的交點
由f′（x）=

1-lnx

x2

＞0得0＜x＜e
由f′（x）=

1-lnx

x2

＜0得x＞e
∴當(dāng)x=e時，y=f（x）有極大值f（e）=

1

e

，
又∵f（

1

e

）=-e，f（e²）=

2

e2

，且

2

e2

＞-e，
∴t的取值范圍是[

2

e2

，

1

e

）

點評：本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究曲線在某點的切線方程，函數(shù)的零點，是函數(shù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)零點的綜合應(yīng)用，難度中檔．