Question

已知橢圓=1(a＞b＞0),F₁、F₂分別為其左、右焦點，P為橢圓上任意一點，θ=∠F₁PF₂，求θ的最大值及θ取得最大值時P點的坐標.

Answer 1

解:設(shè)P(x,y)，則=(c=).

∴|PF₁|=a+x.同理|PF₂|=a－x.

在△F₁PF₂中，cosθ=

=

=－1

=－1

=－1.

∵－a≤x≤a,

∴0≤x²≤a².

∴當(dāng)x=0時，cosθ=－1最小.

∵t=cosθ在［0，π］上是減函數(shù)，

∴θ=arccos (－1)最大，此時P點的坐標為(0，±b).

點評:利用橢圓的第二定義可把橢圓上的點P到焦點的距離轉(zhuǎn)化為以P點的橫坐標(或縱坐標)為自變量的一次函數(shù)的函數(shù)值.本例的解法把θ的余弦表示為x的函數(shù)，根據(jù)x的范圍求得了θ的最大值.例題的結(jié)論說明了橢圓的短軸端點對兩焦點的張角最大.