Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和圓O：x²+y²=b²，過橢圓上一點P引圓O的兩條切線，切點分別為A，B．
（1）若離心率為

5

3

，短軸一個端點到右焦點距離為3，求橢圓C的方程；
（2）若橢圓上存在點P，使得∠APB=90°，求橢圓離心率e的取值范圍；
（3）設直線AB與x軸、y軸分別交于點M，N，求證：

a2

|ON|2

+

b2

|OM|2

為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意知

e= c a = 5 3 a=3 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓方程．
（2）由已知條件得四邊形OBPA是邊長為b=2的正方形，從而|OP|=2

2

=

2

b，|OP|²=8=2b²≤9=a²，a²≤2c²，由此能求出橢圓離心率e的取值范圍．
（3）設P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則PA方程為：x₁x+y₁y=4，PB方程為：x₂x+y₂y=4．直線AB方程為x₀x+y₀y=4．從而|ON|=|y|=

4

|y0|

，|OM|=|x|=

4

|x0|

，由此能證明

a2

|ON|2

+

b2

|OM|2

為定值

9

4

．

解答： （1）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）離心率為

5

3

，
短軸一個端點到右焦點距離為3，
∴

e= c a = 5 3 a=3 a2=b2+c2

，解得a=3，c=

5

，b=2，
∴橢圓方程為

x2

9

+

y2

4

=1．
（2）解：∵過橢圓上一點P引圓O的兩條切線，切點分別為A，B．
∠APB=90°，
∴四邊形OBPA是邊長為b=2的正方形，
∴|OP|=2

2

=

2

b，
∴|OP|²=8=2b²≤9=a²，∴a²≤2c²，
∴e²≥

1

2

，∴橢圓離心率e的取值范圍是：

2

2

≤e＜1．
（3）證明：設P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

y0-y1

x0-x1

=-

x1

y1

，
整理得x₀x+y₀y=x₁²+y₁²，∵x₁²+y₁²=4，
∴PA方程為：x₁x+y₁y=4，PB方程為：x₂x+y₂y=4．
∴x₁x+y₁y=x₂x+y₂y，∴

y2-y1

x2-x1

=-

x0

y0

，
直線AB方程為y-y₁=-

x0

y0

(x-x1)，即x₀x+y₀y=4．
令x=0，得|ON|=|y|=

4

|y0|

，令y=0，得|OM|=|x|=

4

|x0|

，
∴

a2

|ON|2

+

b2

|OM|2

=

9

16 y02

+

4

16 x02

=

9y02

16

+

4x02

16

=

36

16

=

9

4

．
∴

a2

|ON|2

+

b2

|OM|2

為定值

9

4

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查橢圓離心率e的取值范圍的求法，考查

a2

|ON|2

+

b2

|OM|2

為定值的證明，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．