Question

【題目】已知橢圓，傾斜角為60°的直線與橢圓分別交于A、B兩點且，點C是橢圓上不同于A、B一點，則△ABC面積的最大值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式，得到

，解得的值，設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線方程為，聯(lián)立方程組，利用，求得的值，再由點到直線的距離公式和三角形的面積公式，即可求解．

由題意，設(shè)直線AB的方程為，點 A（x1，y1），B（x2，y2），

聯(lián)立方程組，整理得18x2+10mx+5m2﹣30＝0，

所以x1+x2，x1x2．

因為，即，

代入整理得，解得，

不妨�。�m＝2，可得直線AB的方程為，

設(shè)與直線AB平行且與橢圓相切的直線方程為yx+t，

聯(lián)立方程組，整理得18x2+10tx+5t2﹣30＝0，

由△＝300t2﹣72×（5t2﹣30）＝0，解得：t＝±6．

取t＝﹣6時，與直線AB平行且與橢圓相切的直線與直線AB的距離，

所以△ABC面積的最大值，

故答案為：．