Question

已知橢圓：的離心率為，右焦點為，右頂點在圓：上.

（Ⅰ）求橢圓和圓的方程；

（Ⅱ）已知過點的直線與橢圓交于另一點，與圓交于另一點.請判斷是否存在斜率不為0的直線，使點恰好為線段的中點，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），；（Ⅱ）不存在

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由圓方程可知圓心為，即，又因為離心率為，可得，根據(jù)橢圓中關(guān)系式，可求。橢圓方程即可求出。因為，則右頂點為，將其代入圓的方程可求半徑。（Ⅱ）設(shè)出直線方程，然后和橢圓方程聯(lián)立，消掉y（或x）得到關(guān)于x的一元二次方程。再根據(jù)韋達(dá)定理得出根與系數(shù)的關(guān)系。因為是其中一個交點，所以方程的一個根為2。用中點坐標(biāo)公式求點的坐標(biāo)，再將其代入圓方程。解出的值。若則說明存在滿足條件的直線可求出其方程，若，則說明不存在滿足條件的直線。法二：假設(shè)存在，由已知可得，因為點為線段的中點，所以，因為點在橢圓上可推導(dǎo)得，與矛盾，故假設(shè)不成立。

試題解析：（Ⅰ）由題意可得，                            1分

又由題意可得，

所以，                                           2分

所以,                                   3分

所以橢圓的方程為.                         4分

所以橢圓的右頂點，                             5分

代入圓的方程，可得,

所以圓的方程為.                        6分

（Ⅱ）法1：

假設(shè)存在直線:滿足條件，               7分

由得          8分

設(shè)，則,                          9分

可得中點，                            11分

由點在圓上可得

化簡整理得                                       13分

又因為，

所以不存在滿足條件的直線.                             14分

（Ⅱ）法2：

假設(shè)存在直線滿足題意.

由（Ⅰ）可得是圓的直徑，                           7分

所以.                                          8分

由點是中點，可得.                    9分

設(shè)點，則由題意可得.                  10分

又因為直線的斜率不為0，所以,                   11分

所以,           13分

這與矛盾，所以不存在滿足條件的直線.           14分

考點：橢圓及圓的基礎(chǔ)知識、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分析問題、解決問題以及化歸與轉(zhuǎn)化的能力，考查綜合素質(zhì)。