Question

半徑為4m的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪沿逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，每分鐘轉(zhuǎn)動6圈，如果當(dāng)水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點P₀）開始計算時間．
（1）將點P距離水面的高度z（m）表示為時間t（s）的函數(shù)；
（2）在水輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有多長時間點P距離水面超過4m？

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,y=Asin（ωx+φ）中參數(shù)的物理意義

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由題意求出ω值，然后結(jié)合t=0時z=0求出φ的值，則函數(shù)解析式可求；
（2）直接由4sin(

π

5

t-

π

6

)+2＞4求解三角不等式得到在水輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，點P距離水面超過4m的時間．

解答： 解：（1）由題意可知，ω=

6×2π

60

=

π

5

，
設(shè)角φ（-

π

2

＜φ＜0）是以O(shè)x為始邊，OP₀為終邊的角，
由條件得z=4sin(

π

5

t+φ)+2（-

π

2

＜φ＜0）．
將t=0，z=0代入，得4sinφ+2=0，
∴φ=-

π

6

．
∴z=4sin(

π

5

t-

π

6

)+2；
（2）由題意知，4sin(

π

5

t-

π

6

)+2＞4，
即sin(

π

5

t-

π

6

)＞

1

2

，
∴

π

5

t-

π

6

∈(2kπ+

π

6

，2kπ+

5π

6

)，k∈Z．
即t∈(10k+

5

3

，10k+5)，k∈Z．
∴5-

5

3

=

10

3

．
答：在水輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，點P距離水面超過4m的時間為

10

3

秒．

點評：本題考查了y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查了y=Asin（ωx+φ）中參數(shù)的物理意義，關(guān)鍵是對題意的理解，是中檔題．