Question

18．設(shè)A₁，A₂，…，A_k是集合X={1，2，…，10}的不同子集，它們兩兩的交集都不是空集，而X的其它子集不能與A₁，A₂，…，A_k中每一個的交集都是非空集合，求k的值．

Answer 1

分析 把2¹⁰個子集按互補關(guān)系配成2⁹對．只需證明下兩步．先證明每對不能同時取，再證明每對不能都不取．

解答 解：把2¹⁰個子集按互補關(guān)系配成2⁹對．只需證明下兩步．
先證明每對不能同時�。ǚ駝t它們的交為空，矛盾）．
再證明每對不能都不取，否則設(shè)A、B互補且都沒取，那么A為什么不被取呢，因為已取的集合中有與A不交的C，C一定是B的子集；B為什么不被取呢，因為已取的集合中有與B不交的D，D一定是A的子集．但是C、D本身就是不交的，卻都被取了，豈不矛盾．
綜上所述可得：k=2⁹=512．

點評 本題考查了元素與集合、集合之間的關(guān)系，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．