Question

已知雙曲線x²-y²=1及點(diǎn)A（

7

2

，0）．
（1）求點(diǎn)A到雙曲線一條漸近線的距離；
（2）已知點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，△POA為直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）雙曲線的一條漸近線是x-y=0，由點(diǎn)到直線距離公式可求出雙曲線的A點(diǎn)到一條漸近線的距離．
（2）根據(jù)，△POA為直角三角形，分兩種情況討論：當(dāng)∠OAP=90°，時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

7

2

，代入雙曲線x²-y²=1即得；當(dāng)∠OPA=90°，時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
則有：（x-

7

4

）²+y²=

49

16

，與方程x²-y²=1聯(lián)立可得．

解答：解：（1）雙曲線的一條漸近線是x-y=0，
由點(diǎn)到直線距離公式，A點(diǎn)到一條漸近線的距離是

|1× 7 2 |

12+12

=

7 2

4

；
（2）當(dāng)∠OAP=90°，時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

7

2

，代入雙曲線x²-y²=1得：y=±

3 5

2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（

7

2

，±

3 5

2

）．
當(dāng)∠OPA=90°，時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
則有：（x-

7

4

）²+y²=

49

16

，與方程x²-y²=1聯(lián)立得：

x=2 y=± 3

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（2，±

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．屬于基礎(chǔ)題．