Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且滿(mǎn)足①f（x₁-x₂）=

f(x1)f(x2)+1

f(x2)-f(x1)

；②存在正常實(shí)數(shù)a，使f（a）=1．求證：
（1）f（x）是奇函數(shù)；
（2）f（x）是周期函數(shù)，并且有一個(gè)周期為4a．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的周期性

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）將x₁-x₂和x₂-x₁分別代入抽象表達(dá)式①，即可判斷f（x₁-x₂）與f（x₂-x₁）之間互為相反數(shù)，并推斷函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）根據(jù)條件f（a）=1，結(jié)合抽象函數(shù)的關(guān)系以及周期的定義進(jìn)行推導(dǎo)即可．

解答： 解：（1）不妨令x=x₁-x₂，
則f（-x）=f（x₂-x₁）=

f(x2)f(x1)+1

f(x1)-f(x2)

=-

f(x1)f(x2)+1

f(x2)-f(x1)

=-f（x₁-x₂）=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)；
（2）若f（a）=1，則f（-a）=-1，
f（x-a）=

f(x)f(a)+1

f(a)-f(x)

=

f(x)+1

1-f(x)

，
則f（x-2a）=f（x-a-a）=

f(x-a)+1

1-f(x-a)

=

f(x)+1 1-f(x) +1

1- f(x)+1 1-f(x)

=

f(x)+1+1-f(x)

1-f(x)-f(x)-1

=-

1

f(x)

，
即 f（x-4a）=f（x-2a-2a）=-

1

f(x-2a)

=f（x），
∴f（x-4a）=f（x），
∴f（x）是周期函數(shù)，4a是一個(gè)周期．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)奇偶性和周期性的判斷和求解，利用定義是解決本題的關(guān)鍵．