Question

7．在△ABC中，已知$\frac{cosA}{cosB}$=$\frac{a}$=$\frac{2014}{2015}$，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 方法一、把由余弦定理解出的余弦表達(dá)式代入已知的等式化簡可得：（a²-b²）c²=（a²-b²）（a²+b²），由a≠b，即可得到結(jié)論；
方法二、根據(jù)正弦定理把等式acosA=bcosB的邊換成角的正弦，再利用倍角公式化簡整理得sin2A=sin2B，進(jìn)而推斷A=B，或A+B=90°，由a≠b，答案可得．

解答 解法一：由$\frac{cosA}{cosB}$=$\frac{a}$=$\frac{2014}{2015}$，可得
acosA=bcosB（a≠b），
cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，
∴$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$•a=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$•b，
化簡得：a²c²-a⁴=b²c²-b⁴，即（a²-b²）c²=（a²-b²）（a²+b²），
由a≠b，則a²+b²=c²，△ABC是直角三角形，
所以△ABC是直角三角形．
解法二：根據(jù)正弦定理可知∵acosA=bcosB，
∴sinAcosA=sinBcosB
∴sin2A=sin2B
∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，
由a≠b，即A≠B，
所以△ABC為直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的形狀的判斷，考查正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，考查化簡整理的能力，屬于中檔題．