Question

【題目】已知橢圓C過點(diǎn) ，兩個(gè)焦點(diǎn)．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝6，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）

【解析】

（1）由已知可設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0），且c，再由橢圓定義求得a，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；

（2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為x＝m，由弦長(zhǎng)求得m，可得三角形AOB的面積；當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y＝kx+m，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)可得m與k的關(guān)系，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出原點(diǎn)O到AB的距離，代入三角形面積公式，化簡(jiǎn)后利用二次函數(shù)求最值，則答案可求．

解：（1）由題意，設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0），

且c，2a12，

則a＝6，∴b2＝a2﹣c2＝12．

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為x＝m，

得|AB|，

由|AB|6，解得m＝±3，

此時(shí)；

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y＝kx+m，

聯(lián)立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣36＝0．

△＝36k2m2﹣4（3k2+1）（3m2﹣36）＝432k2﹣12m2+144．

設(shè)A（，），B（，），

則，．

由|AB|6，

整理得：，原點(diǎn)O到AB的距離d．

∴

．

當(dāng)時(shí)，△AOB面積有最大值為9．

綜上，△AOB面積的最大值為．