Question

過拋物線y²=4x的焦點，作直線與拋物線相交于P、Q兩點，求線段PQ中點的軌跡方程．

Answer 1

分析：確定y²=4x的焦點坐標，分類討論，利用點差法，即可求得結論．

解答：解：∵y²=4x的焦點坐標為F（1，0）
∴當直線PQ的斜率k存在時，可設其方程的y=k（x-1），且k≠0
又設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），中點M的坐標為（x₀，y₀），則有：

2y0=y1+y2 2x0=x1+x2

而由題意，得

y 2 1 =4x1 y 2 2 =4x2

∴(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2) ∴ y1-y2 x1-x2 = 4 y1+y2

∴k=

2

y0

…（4分）
∵點M（x₀，y₀）在直線PQ上

∴y0=k(x0-1) ∴ y 2 0 =2(x0-1)

即得線段PQ中點的軌跡方程為y²=2（x-1）…（5分）
而當直線PQ的斜率不存在時，有PQ⊥x軸，此時PQ的中點M，即為焦點F（1，0），滿足y²=2（x-1）
綜上，線段PQ中點的軌跡方程為y²=2（x-1）…（6分）

點評：本題考查軌跡方程，考查分類討論的數學思想，考查學生的計算能力，屬于中檔題．