Question

已知在處取得極值。

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）是否存在實數(shù)，使得對任意？若存在，求的所有值；若不存在，說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）存在唯一的實數(shù)a＝符合題意.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知條件得f¢(x₀)=0得到關于x₀的關系式，再求出f(x₀)；（Ⅱ）將原不等式轉化為x²(lnx－a)＋a≥0，考察關于x的函數(shù)g(x)＝x²(lnx－a)＋a的單調性，求出最小值g＝a－e^2a－1，再研究關于a的函數(shù)h(a)＝a－e^2a－1，當a取哪些值時h(a)≥0．

試題解析：（Ⅰ）f¢(x)＝．

依題意，lnx₀＋x₀＋1＝0，則lnx₀＝－(x₀＋1)．

f(x₀)＝＝＝－x₀.

（Ⅱ）f(x)≥等價于x²(lnx－a)＋a≥0．

設g(x)＝x²(lnx－a)＋a，則g¢(x)＝x(2lnx－2a＋1)．

令g¢(x)＝0，得x＝．

當x∈時，g¢(x)＜0，g(x)單調遞減；

當x∈時，g¢(x)＞0，g(x)單調遞增．

所以g(x)≥g＝a－e^2a－1．

于是f(x)≥恒成立只需a－e^2a－1≥0．

設h(a)＝a－e^2a－1，則h＝0，

且h¢(a)＝1－e^2a－1，h¢＝0．

當a∈（0，）時，h¢(a)＞0，h(a)單調遞增，h(a)＜h＝0；

當a∈（，＋∞）時，h¢(a)＜0，g(x)單調遞減，h(a)＜h＝0．

因此，a－e^2a－1≤0，當且僅當a＝時取等號．

綜上，存在唯一的實數(shù)a＝，使得對任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥．

考點：導函數(shù)的應用