Question

設等邊三角形的邊長為a，P是△ABC內的任意一點，且P到三邊AB、BC、CA的距離分別為d₁、d₂、d₃，則有d₁+d₂+d₃為定值

3

2

a，由以上平面圖形的特性類比空間圖形：設正四面體ABCD的棱長為a，P是正四面體ABCD內任意一點，即到四個面ABC，ABD，ACD，BCD的距離分別為d₁、d₂、d₃、d₄，則有d₁+d₂+d₃+d₄為定值（　�。�

• A、

  3

  2

  a
• B、

  3

  4

  a
• C、

  6

  3

  a
• D、

  2

  3

  a

Answer 1

考點：類比推理

專題：探究型,推理和證明

分析：通過類比，點到直線的距離類比為點到平面的距離，面積類比為體積即可．判斷求解h₁+h₂+h₃+h₄的定值．

解答： 解：由于等邊△ABC的邊長為a，P是△ABC內的任意一點，且P到三邊AB，BC，CA的距離分別為d₁，d₂，d₃，則有d₁+d₂+d₃為定值

3

2

a；
證明如下：如圖，△ABC是等邊三角形，點P是等邊三角形內部任一點．
S_△APB=

1

2

a•PE，S_△CPB=

1

2

a•PE，S_△APC=

1

2

a•PG，
于是S_△APB+S_△CPB+S_△APC=

1

2

a•PE+

1

2

a•PF+

1

2

a•PG，
即

1

2

a•PE+

1

2

a•PF+

1

2

a•PG=S，
∴PE+PF+PG=

2S

a

為定值．
由線類比為面，點到直線的距離類比為點到平面的距離，面積類比為體積得到：有d₁+d₂+d₃+d₄為定值

6

3

a．
故選：C．

點評：本題考查類比推理，升維類比是一種比較重要的類比方式，要掌握好其類比規(guī)則，對于類比還有一點要注意，那就是類比的結論不一定是正確的．