Question

已知m，k∈Z，且方程mx²-kx+2=0在（0，1）上有兩個不同的實數(shù)根，則m+k的最小值為

 

．

Answer 1

考點：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：設出f（x）=mx²-kx+2，由f（0）=2，易知f（x）的圖象恒過定點（0，2），將一元二次方程的根的分布轉(zhuǎn)化為確定相應的二次函數(shù)的圖象處理，根據(jù)圖象可得到關于m和k的不等式組，此時不妨考慮利用不等式所表示的平面區(qū)域解決，但須注意這不是線性規(guī)劃問題，同時注意取整點．

解答： 解：設f（x）=mx²-kx+2，由f（0）=2，易知f（x）的圖象恒過定點（0，2），
因此要使已知方程在區(qū)間（0，1）內(nèi)兩個不同的根，即f（x）的圖象在區(qū)間（0，1）內(nèi)與x軸有兩個不同的交點即由題意可以得到：必有

m＞0 f(1)=m-k+2 0＜ k 2m ＜1 △=k2-8m＞0

，即

m＞0 m-k+2＞0 2m-k＞0 k2-8m＞0

，
在直角坐標系中作出滿足不等式平面區(qū)域，
如圖所示，設z=m+k，則直線m+k-z=0經(jīng)過圖中的陰影中的整點（6，7）時，
z=m+k取得最小值，即z_min=13．
故答案為13．

點評：本題考查了一元二次方程根的分布，結合函數(shù)圖象以及平面區(qū)域解答．