Question

（12分）已知函數(shù)．

（1）當(dāng)a=1時(shí)，證明函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；

（2）若函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，，其定義域是，

                               -------1分

     令，即，解得或．

    ∵x>0，舍去．

       當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

∴函數(shù)在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減-------4分

     ∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值，其值為．

當(dāng)時(shí)，，即．

     ∴函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．                                              --------------------6分

（2）因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090528/20090528093223018.gif' width=148>其定義域?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090528/20090528093223002.gif' width=49>，

所以----------7分

①當(dāng)a=0時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)，不合題意----8分

②當(dāng)a>0時(shí)，等價(jià)于，即．

此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為．

依題意，得解之得                ---------------------10分

③當(dāng)a<0時(shí)，等價(jià)于，即?

此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為， 得

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是         -----------------12分