Question

已知P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂)是拋物線(xiàn)y²=2px(p>0)上不同的兩點(diǎn),則y₁·y₂=-p²是直線(xiàn)PQ通過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的(    )

A.充分不必要條件                      B.充要條件

C.必要不充分條件                      D.既不充分又不必要條件

Answer 1

B

解析:

當(dāng)x₁=x₂時(shí),顯然為充要條件.

當(dāng)x₁≠x₂時(shí),設(shè)直線(xiàn)PQ的斜率為k,

若過(guò)焦點(diǎn),則直線(xiàn)AB的方程為y=k(x-),代入拋物線(xiàn)方程并化簡(jiǎn)得y²-y-p²=0.

∴y₁·y₂=-p².

若y₁·y₂=-p²,由于P、Q為拋物線(xiàn)上?的點(diǎn),故y₁²=2px₁,y₂²=2px₂.

∴.

從而直線(xiàn)AB的方程為y-y₁=(x-x₁).

令y=0,得-y₁²+p²=2px-2px₁.

又y₁²=2px₁,∴x=,即直線(xiàn)AB過(guò)(,0)點(diǎn).

綜上分析知為充要條件.