Question

已知函數f（x）=x（x-a）²+b在x=2處有極大值．
（Ⅰ）當[-2，4]時，函數y=f（x）的圖象在拋物線y=1+45x-9x²的下方，求b的取值范圍．
（Ⅱ）若過原點有三條直線與曲線y=f（x）相切，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用

分析：（1）其中一個函數的圖象在另一個函數圖象的下方，轉化為兩個函數的“差函數”在相應區(qū)間內恒小于0的問題；
（2）求切線主要還是抓住切點，因此既然有三條切線，因此應該有三個切點，也就是利用切點表示的方程將原點代入后，得到關于切點橫坐標x的方程有三個不同的實數根．再結合導數研究函數的圖象求解．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=x（x-a）²+b=x³-2ax²+a²x+b⇒f'（x）=3x²-4ax+a²，f'（2）=12-8a+a²=0⇒a=2或a=6，
當a=2時，函數在x=2處取得極小值，舍去；
當a=6時，f'（x）=3x²-24x+36=3（x-2）（x-6），
函數在x=2處取得極大值，符合題意，∴a=6．
∵當x∈[-2，4]時，函數y=f（x）的圖象在拋物線y=1+45x-9x²的下方，
∴x³-12x²+36x+b＜1+45x-9x²在x∈[-2，4]時恒成立，
即b＜-x³+3x²+9x+1在x∈[-2，4]時恒成立，令h（x）=-x³+3x²+9x+1，
則h'（x）=-3x²+6x+9=-3（x-3）（x+1），由h'（x）=0得，x₁=-1，x₂=3．
∵h（-2）=3，h（-1）=-4，h（3）=28，h（4）=21，
∴h（x）在[-2，4]上的最小值是-4，b＜-4．
（Ⅱ）f（x）=x³-12x²+36x+b，設切點為(x0，

x

3 0

-12

x

2 0

+36x0+b)，
則切線斜率為f′(x)=3

x

2 0

-24x0+36，
切線方程為y-

x

3 0

+12

x

2 0

-36x0-b=(3

x

2 0

-24x0+36)(x-x0)，
即  y=(3

x

2 0

-24x0+36)x-2

x

3 0

+12

x

2 0

+b，
∴-2

x

3 0

+12

x

2 0

+b=0⇒b=2

x

3 0

-12

x

2 0

．
令g（x）=2x³-12x²，則g'（x）=6x²-24x=6x（x-4），
由g'（x）=0得，x₁=0，x₂=4．
函數g（x）的單調性如下：

x	（-∞，0）	0	（0，4）	4	（4，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	極大值0	↘	極小值-64	↗

∴當-64＜b＜0時，方程b=g（x）有三個不同的解，過原點有三條直線與曲線y=f（x）相切．

點評：本題充分體現了數形結合的思想在研究函數的零點中的作用，當然利用導數研究單調性、極值之必須走的常規(guī)路子．