Question

13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中．點(diǎn)M不與點(diǎn)O重合，稱射線OM與圓x²+y²=1的交點(diǎn)N為點(diǎn)M的“中心投影點(diǎn)“．
（1）點(diǎn)M（1，$\sqrt{3}$）的“中心投影點(diǎn)”為（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
（2）曲線x²$-\frac{{y}^{2}}{3}=1$上所有點(diǎn)的“中心投影點(diǎn)”構(gòu)成的曲線的長度是$\frac{4π}{3}$．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立射線OM的方程和圓的方程，解方程即可得到N的坐標(biāo)；
（2）求出雙曲線的漸近線方程，聯(lián)立圓方程求出交點(diǎn)，可得所求曲線為兩段圓弧，運(yùn)用弧長公式即可得到所求．

解答 解：（1）由題意可得射線OM方程為y=$\sqrt{3}$x（x＞0）與圓x²+y²=1
聯(lián)立，解得x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即有N（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
（2）雙曲線x²$-\frac{{y}^{2}}{3}=1$的漸近線方程為y=±$\sqrt{3}$x，
代入圓x²+y²=1可得四個(gè)交點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
即有曲線x²$-\frac{{y}^{2}}{3}=1$上所有點(diǎn)的“中心投影點(diǎn)”構(gòu)成的曲線為兩段圓弧，
且圓心角為120°，半徑為1，則弧長為$\frac{4π}{3}$．
故答案為：（1）（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；（2）$\frac{4π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查聯(lián)立方程組求交點(diǎn)，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．